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已知数列{an},Sn是其前n项的和,且满足3an=2Sn+n(n∈N*)(Ⅰ)求证:数列{an+12}为等比数列;(Ⅱ)记

2020-07-13 6

解:令bn=an+12
(1)3an=2sn+n,带入a1,有
3a1=2a1+1,得a1=1;
令n=2,带入:3a2=2(a1+a2)+2,得a2=4
令n=3,带入:3a3=2(a1+a2+a3)+3,得a3=13
b1*b3=(1+12)*(13+12)=325
b2*b2=(4+12)^2=256≠B1*B3,所以数列{an+12}并不是等列。
(2)由题设可知,----------为避免混淆,本题目字母相乘都用*表示,不省略。
3*an=2*Sn+n,
故有3*an=2*an+2S(n-1)+n (此处n大于1)
3*a(n-1)=2*S(n-1)+n-1
由上两式可得an=3*a(n-1)+1,整理得
an+0.5=3(a(n-1)+0.5)
所以an+0.5=(a1+0.5)*3^(n-1) (n>1)
所以an=(a1+0.5)*3^(n-1) -0.5.
------------------------
由于
3*an=2Sn+n,故有
3*a(n-1)=2S(n-1)+n-1
……
3a2 =2S1+2
把以上各式相加,得3Sn-3a1=2Tn+0.5n*(n+1)
由于an的通项公式已推出来,Sn可以用an表示,所以也是已知,
所以,Tn也就得到了。
剩下的小部分计算,就留给题主练手了吧,不然看过就忘了哟)证明:∵3an=2Sn+n
∴3an-1=2Sn-1+n-1(n≥2),
两式相减得:3(an-an-1)=2an+1(n≥2),
∴an=3an-1+1(n≥2),
∴an+=3(an-1+),又a1+=,
∴{an+}是以为,3为公比的等比数列;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得an+=?3n-1=?3n
∴an=?3n-=(3n-1),
∴Sn=[(3+32+…+3n)-n]=(-n)=-,
∴Tn=S1+S2+…+Sn=(32+33+…+3n+3n+1)--(1+2+…+n)
=?--
=-
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